Сумма делителей числа - это важная характеристика в теории чисел, имеющая множество практических применений. Рассмотрим, как вычисляется эта величина и какие свойства она имеет.
Содержание
Сумма делителей числа - это важная характеристика в теории чисел, имеющая множество практических применений. Рассмотрим, как вычисляется эта величина и какие свойства она имеет.
Что такое делители числа
Делителями натурального числа называются все натуральные числа, на которые исходное число делится без остатка. Например:
| Число | Делители |
| 6 | 1, 2, 3, 6 |
| 12 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 |
| 7 | 1, 7 |
Как вычислить сумму делителей
Для вычисления суммы делителей числа необходимо:
- Найти все делители числа
- Сложить их между собой
Пример вычисления
Для числа 10:
- Делители: 1, 2, 5, 10
- Сумма: 1 + 2 + 5 + 10 = 18
Формула суммы делителей
Для больших чисел можно использовать формулу, основанную на каноническом разложении числа:
| Число | Разложение | Формула |
| n = p1a1·...·pkak | Каноническое разложение | σ(n) = (p1a1+1-1)/(p1-1) · ... · (pkak+1-1)/(pk-1) |
Пример применения формулы
Для числа 12 = 22·31:
- σ(12) = (23-1)/(2-1) · (32-1)/(3-1) = 7 · 4 = 28
- Проверка: 1+2+3+4+6+12 = 28
Свойства суммы делителей
| Свойство | Пример |
| Для простого p: σ(p) = p+1 | σ(7) = 1+7 = 8 |
| Для степени простого pk: σ(pk) = (pk+1-1)/(p-1) | σ(8) = σ(23) = 15 |
| Функция мультипликативна | Если gcd(a,b)=1, то σ(ab)=σ(a)σ(b) |
Совершенные числа
Число называется совершенным, если сумма его собственных делителей (без самого числа) равна ему самому:
- 6: 1+2+3 = 6
- 28: 1+2+4+7+14 = 28
Применение суммы делителей
- В криптографии
- В теории алгоритмов
- В исследовании свойств чисел
- В комбинаторике
Сумма делителей числа - это мощный инструмент в теории чисел, позволяющий исследовать глубокие свойства числовых последовательностей и решать сложные математические задачи.
