Односторонние пределы - это важное понятие математического анализа, описывающее поведение функции при приближении аргумента к заданной точке с одной стороны.
Содержание
Односторонние пределы - это важное понятие математического анализа, описывающее поведение функции при приближении аргумента к заданной точке с одной стороны.
Определение односторонних пределов
Различают два вида односторонних пределов:
- Предел справа (обозначается limx→a+f(x)) - предел функции при стремлении x к a со значений больших a
- Предел слева (обозначается limx→a-f(x)) - предел функции при стремлении x к a со значений меньших a
Когда существуют односторонние пределы
| Тип функции | Существование пределов |
| Непрерывная в точке | Оба предела существуют и равны f(a) |
| С разрывом первого рода | Оба предела существуют, но не равны |
| С разрывом второго рода | Хотя бы один предел не существует |
Примеры вычисления односторонних пределов
Рассмотрим функцию f(x) = |x|/x:
- limx→0+|x|/x = 1
- limx→0-|x|/x = -1
Связь односторонних пределов с обычным пределом
Для существования обычного предела limx→af(x) необходимо и достаточно:
- Существования обоих односторонних пределов
- Их равенства между собой
Формальная запись условия существования предела
limx→af(x) = L ⇔ limx→a+f(x) = limx→a-f(x) = L
Важные свойства односторонних пределов
| Свойство | Описание |
| Линейность | lim(cf(x) ± dg(x)) = c·limf(x) ± d·limg(x) |
| Произведение | lim(f(x)·g(x)) = limf(x)·limg(x) |
| Частное | lim(f(x)/g(x)) = limf(x)/limg(x), если limg(x)≠0 |
Односторонние пределы широко применяются при исследовании функций на непрерывность, анализе точек разрыва и решении различных прикладных задач математического анализа.
