Сумма векторов в координатной форме вычисляется путем покомпонентного сложения их соответствующих координат. Этот принцип работает для векторов в пространстве любой размерности.
Содержание
Основное правило сложения векторов
Если даны два вектора в n-мерном пространстве:
- Вектор A = (a₁, a₂, ..., aₙ)
- Вектор B = (b₁, b₂, ..., bₙ)
Тогда их сумма A + B будет иметь координаты:
(a₁ + b₁, a₂ + b₂, ..., aₙ + bₙ)
Примеры в двумерном пространстве
| Вектор A | Вектор B | Сумма A + B |
| (2, 3) | (1, 5) | (3, 8) |
| (-1, 4) | (3, -2) | (2, 2) |
| (0, 5) | (7, 0) | (7, 5) |
Примеры в трехмерном пространстве
- (1, 2, 3) + (4, 5, 6) = (5, 7, 9)
- (-2, 0, 3) + (1, -1, 4) = (-1, -1, 7)
- (0.5, 1.5, -2) + (1.5, -0.5, 3) = (2, 1, 1)
Свойства сложения векторов
- Коммутативность: A + B = B + A
- Ассоциативность: (A + B) + C = A + (B + C)
- Существование нулевого вектора: A + 0 = A
- Существование противоположного вектора: A + (-A) = 0
Геометрическая интерпретация
В геометрическом представлении:
- При сложении векторов по правилу треугольника начало второго вектора совмещается с концом первого
- При сложении по правилу параллелограмма векторы откладываются от одной точки
- Результирующий вектор направлен по диагонали параллелограмма
Применение в физике
| Физическая величина | Пример сложения |
| Сила | Сложение сил, действующих на тело |
| Скорость | Сложение скоростей при относительном движении |
| Ускорение | Сложение ускорений от разных воздействий |
Особые случаи
Сложение коллинеарных векторов
Если векторы направлены вдоль одной прямой, их сумма также будет направлена по этой прямой, а модуль равен алгебраической сумме модулей.
Сложение перпендикулярных векторов
Модуль суммы вычисляется по теореме Пифагора: |A + B| = √(a₁² + a₂²)
Обобщение для любого числа векторов
Для суммы m векторов в n-мерном пространстве:
(a₁ + b₁ + ... + m₁, a₂ + b₂ + ... + m₂, ..., aₙ + bₙ + ... + mₙ)
